Transfinite Recursion

定义 Definition

transfinite recursion（超限递归）：集合论与数理逻辑中的一种递归定义方法，把“按自然数一步步定义”的递归推广到超限序数（如 \( \omega, \omega+1, \omega_1\) 等）上。它通常依赖良序（well-order）来保证：在每个阶段都可以根据之前所有阶段已定义的值来定义当前值。该方法常用于构造层级对象、定义序数上的函数、证明定理（如替换、公理化构造、层级宇宙等）。

发音 Pronunciation (IPA)

/trænzˈfaɪnaɪt rɪˈkɝːʒən/

例句 Examples

We define the sequence by transfinite recursion on the ordinals.
我们用关于序数的超限递归来定义这个序列。

Using transfinite recursion, one can build a hierarchy of sets where each level depends on all earlier levels, including limit stages.
利用超限递归，可以构造一个集合的层级结构，使得每一层都依赖于所有更早的层级，并且还要处理极限阶段的情形。

词源 Etymology

transfinite 源自拉丁语前缀 *trans-*（“越过、超越”）与 finite（“有限的”），由数学家康托尔（Georg Cantor）在研究无穷与序数/基数时推广使用，用来指“超越有限但仍可严格比较与运算的无穷概念”。
recursion 来自拉丁语 recurrere（“跑回、返回”），在数学中指“用已定义的先前项来定义后续项”。合起来即“在超限（序数）阶段上进行的递归定义”。

相关词 Related Words

• Ordinal
• Transfinite
• Recursion
• Well-Order
• Limit Ordinal
• Successor Ordinal
• Transfinite Induction
• Cumulative Hierarchy
• Set Theory

文学与经典著作 Literary Works

• Thomas Jech, Set Theory（常在“Transfinite Recursion / Transfinite Induction”章节系统使用与讨论该概念）
• Kenneth Kunen, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs（用于构造与证明中的标准工具）
• Herbert B. Enderton, Elements of Set Theory（介绍序数、良序与超限递归/归纳的基础教材）
• Georg Cantor 的相关论文与文集（虽不总以该现代术语出现，但其序数与超限方法为概念来源之一）